Могу ли я потерять домен при его регистрации в зоне .org из-за указания недостоверной персональной информации?

можете в любой зоне.

Есть ли возможность зарегистрировать домен в зоне .org анонимно, на Ваш хостинг, к примеру, с гарантией его сохранения при случае?

Нет.